Mandelbrot setining chegarasini parametrlash

Mandelbrot to'plamining chegarasini parametrlashni kim biladi? Men fraktal-geometr yoki dinamik tizim odam emasman. Bu savolga faqat bir nechta qiziqish bor.

Mandelbrot to'plami odatda $ z = 0 $ dan boshlangan $ z \ mapsto z ^ 2 + c $ funktsiyasini qaytaradi, shuning uchun hamma $ C \ in \ mathbb {C} $ ballari o'rnatilgan $ M $ deb belgilanadi , abadiy chegaralanib qoladi. Mandelbrot to'plamining eng yaxshi tasvirlari $ M $ $ M_i $ chegara $ M_i $ chegarasi bo'lgan $ M_1 \ supset M_2 \ supset M_3 \ supset \ cdots $ cheksiz ketma-ketliklari ketma-ketligi sifatida namoyon bo'ladi. $ | Z_i (c ) | = K $. Bu erda $ z_i (c) $ $ z $ \ $ map $ z ^ 2 + c $ $ z $ 0 dan boshlab $ $ i va $ K $ kelgusi yinelemelerin qochib ketishini kafolatlaydi. $ \ Partial (M_i) $ bu egri tomoshabin Mandelbrot to'plamining tobora murakkab qismlarini ko'rishga yordam beradi.

$ \ Partial (M_i) $ bu egri chiziqlari analitik va yopiqdir. Shunday qilib, trigonometrik ketma-ketlik bilan yaxshi parametrlangan bo'lishi mumkin. Keyinchalik o'ziga xos bo'lishi uchun, har bir chegara formaning parametrlashiga ega $ z (t) = \ sum_ {k = 0} \ \ infty a_k \ cos (kt) + i \ sum_ {k = 0} ^ \ infty b_k \ sin (kt). (Albatta, har bir chegara $ \ partial (M_i) $ $ c $ ning haqiqiy va xayoliy qismlarida polinomial tenglama bilan belgilanadigan bo'lsa, men bu ketma-ketliklarning har biri tugatilishi kerak. cheklash yo'lining trigonometrik ketma-ketlik bilan yaxshi parametrlashiga ega bo'lishi kerak deb o'ylayman. Ushbu chegara $ K $ uchun bir xilmi? Chegarasi $ K $ uchun bir xil bo'lmasa, u holda $ K \ rightarrow \ infty $ chegara bormi? Fourier koeffitsientlari nima?

21
Sizning tavsiya etilgan chegara parametrizatsiyangiz noyob aniqlanmagan ko'rinadi, chunki (men bilganimdagina) kanonik birlik vaqt parametrizatsiyasi yo'q va Fourier koeffitsientlari reparametrizatsiya bilan o'zgaradi.
qo'shib qo'ydi muallif ricree, manba
Nima uchun faqat chiziqli chiziqlar chiziq bo'ylab parametrlashtiriladi? Ha, chiziq uzunligi abadiylikka ko'payadi, biroq uni bir birlik oralig'ida bosib turasiz.
qo'shib qo'ydi muallif Yursev, manba

6 javoblar

Lasse javobini kengaytirdi: $ \ psi $ - Mandelbrot to'plamining tashqi tomoniga birlashgan diskning tashqi xaritasi bo'lsin, Laurent seriyali $ \ Psi (w) = w + \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n w ^ {- n} = w - \ frac {1} {2} + \ frac {1} {8} w ^ {- 1} - \ frac {1} {4} w ^ {- 2} \ frac {15} {128} w ^ {- 3} + 0 w ^ {- 4} - \ frac {47} {1024} w ^ {- 5} + \ dots $ Keyinchalik, albatta, Mandelbrot to'plamining chegarasi ushbu xarita bo'yicha birlik doiraning tasviridir. Biroq, bu chegaraning mahalliy bog'liqligi (hali ham isbotlanmagan) bog'liq. Bu erda, $ b_n $ koeffitsientlari uchun ma'lum yopiq shakl yo'q, ammo ular recursively hisoblanishi mumkin. Albatta, biz $ w = e ^ {i \ theta} $ qo'yib, bu Fourier seriyasidir.

21
qo'shib qo'ydi
Jerald: Bu juda yaxshi ko'rinadi. Bu chegara chiziqlari chegarasi bormi? $ B_n $ koeffitsientlari uchun rekleriv formulaga mos yozuvlar bera olasizmi?
qo'shib qo'ydi muallif J. Chomel, manba
Jerald: O'ylaymanki, bu haqda internetda yaxshi joy topdim, " mrob.com /pub/muency/laurentseries.html" ; Meni to'g'ri yo'nalishga ko'rsatganingiz uchun tashakkur.
qo'shib qo'ydi muallif J. Chomel, manba
qo'shib qo'ydi muallif Adam, manba

Siz nima so'rayotganingizga juda amin emasman. Mandelbrotning chegarasi, albatta, analitik egri emas. Aslida Shishikuraning mashhur natijasi Mandelbrotning chegarasi Hausdorff o'lchami 2 ekanligini ko'rsatadi.

Darhaqiqat, chegara butunlay egri yoki yo'qligi (hatto mahalliy sifatida bog'langan) ham ma'lum emas: bu, ehtimol, bir o'lchamli holomorfik dinamikada eng mashhur gumondir.

Agar Mandelbrot to'plami lokal ravishda ulangan bo'lsa, Mandelbrot to'plamining chegarasi tabiiy tasvirlangan ($ M $ qo'shimchaining Riemann xaritasining chegara qiymati); bu ko'p jihatdan tabiiy kombinatoriya tavsifi sifatida ham ma'lum. Ammo, yuqorida aytib o'tilganidek, bu parametrizatsiya analitik emas, hatto $ C ^ 1 $.

10
qo'shib qo'ydi
Lassse: $ i $ va butun $ K $ uchun analitik $ \ partial (M_i) $ chegara chiziqlari haqida so'rayman. Misol uchun, agar $ K = 2 $ bo'lsa, $ \ partial (M_1) $ $ circular $ | c | = 2 $, $ \ partial (M_2) $ egri $ | c ^ 2 + c | = 2 $ , $ \ partial (M_3) $ - $ | (c ^ 2 + c) ^ 2 + c | = 2 $ egri va boshqalar.
qo'shib qo'ydi muallif J. Chomel, manba
Mandelbrotning chegarasi bo'lgan bu egri chiziqlari haqida so'raganingizni o'ylardim. Mandelbrot to'sig'ining chegarasini tabiiy ravishda yaqinlashtirish $ M $ ("equipotentials") qo'shimchasining birlashtiruvchi funktsiyasining darajadagi to'plamlari orqali amalga oshirilishini nazarda tutish kerak. Agar K $ koeffitsienti etarli darajada katta bo'lsa, ushbu tengsizliklar siz tasvirlagan egri chiziqlarga yaqin bo'ladi.
qo'shib qo'ydi muallif isomorphismes, manba

Jerald Edgarning javobini kengaytirish uchun sizning "Douady-Hubbard potentsiali" va " tashqi nurlar. "

Tashqi ray - bu \ $ ar argumentining $ \ theta $ uchun $ \ theta $ uchun $ \ psi $.

Douady-Hubbard potentsiali tashqi nurli argumentning faqatgina

uyg'unlashgan konjugat . tashqi nurlarning maydoni chiziqlaridir.

$ \ Psi (\ zeta) $ ning barcha $ \ zeta $ uchun aniqlanganligi isbotlanmaganiga aminman, lekin shuni nazarda tutish kerak. (Ba'zida bu tashqi nur "yerlar" deb aytiladi). Biroq, tashqi nurlar oqilona burchakka $ 2 \ pi m/n $ ga tushadi, va bundan tashqari, chegara punktidagi ochilish nuqtalarining dinamikasi $ m/n $ fraktsiyasiga chindan ham yoqimli tarzda. (" ikki tomonlama xarita bilan $ \ theta \ mapsto 2 \ theta $ o'rtasida o'xshashlik mavjud va holomorf xaritalar $ z \ mapsto z ^ 2 + c $ va dinamikasi $ \ Theta $ birinchi xarita ostida $ z \ mapsto z ^ 2 + c_ \ theta $ xaritasining dinamikasiga taaluqlidir, bu erda $ c_ \ theta $ Mandelbrot setidagi chegaradagi tegishli rayning qo'nish nuqtasi.) Shunday qilib, chegara parametrizatsiyasi aslida muhim va tabiiy ob'ektdir (agar u yaxshi aniqlangan bo'lsa, taxmin qilingan).

6
qo'shib qo'ydi
4
qo'shib qo'ydi

Mening gumonim shunday parametrlash ishlamaydi. Kuchli qorli qorong'u kabi oddiyroq (muayyan nuqtai nazar) tuzilishga o'xshash narsalarni ko'ring. Parametrizatsiyaga sizning yondashuvingiz $ n $ ga asoslanib funksiyani ishlab chiqishga imkon beradimi, ma'lum bir chuqurlikda qor yomg'irini yaratish uchun foydalaniladigan yineluvchi yineleme soni? Men o'ylamagan bo'lardim. Siz, hech bo'lmaganda, Koch egri uchun uning atrofidagi "kauchuk lenta" tanasini parametrlash imkoniyatiga ega bo'lishingiz mumkin, ammo bu juda ko'p recursively belgilangan ob'ektlar uchun ahamiyatsiz bo'ladi.

1
qo'shib qo'ydi

"Tashqi burchaklar" ga qarang. Ko'rinib turganidek, har qanday burchakda abadiylikdan kelib chiqqan, har doim potentsial chiziqlar bo'yicha perpendikulyar bo'lgan chiziq oxirida to'siqqa tegadi.

http://mathr.co.uk/blog/2013-02-01_navigating_by_spokes_in_the_mandelbrot_set.html

http://mathr.co.uk/blog/2013-10-02_islands_in_the_hairs.html

Men hali ham o'zimga aniq matematikani aniqlay olishga harakat qilyapman. Uning Haskell manbalari menga shifrlangan.

0
qo'shib qo'ydi