Koordinatsiz nisbiylikda, qanday qilib vektorni belgilaymiz?

Nisbiylik koordinatsisiz ishlab chiqilishi mumkin: Laurent 1994 (SR), Winitzski 2007 (GR).

Odatda konvertatsiya qilish funktsiyalari bilan vektorni belgilay olaman: bu Lorentz konvertatsiyasiga qarab o'zgaradigan narsadir. Lekin koordinatasiz yondashuvda biz tarkibiy qismlar haqida gapirmaymiz va vektorlarni o'zgarmas deb hisoblaymiz. Masalan, Laurent tomoshabinni $ U $ ning vaqtinchalik birligi vektori bilan ta'riflaydi, keyin $ v $ boshqa $ v $ v $ $ t $ va $ r $ ni $ v = tU + r $ bilan belgilaydi, bu erda $ r $ $ U $ ga ortogonal. $ (T, r) $ jufti odatda $ v $ ning koordinatali vakili deb o'ylaymiz.

Ushbu yondashuvlarda qanday qilib siz vektorni aniqlab berasiz va uni skatorlar, psevdovektorlar, rank-2 tensorlari yoki tasodifiy ob'ektlar kabi vektor maydonlarining tuzilishiga ega bo'lgan narsalardan olingan narsalardan qanday farqlashingiz mumkin, lekin bu koordinataga bog'liq tavsiflarda Lorenz konvertatsiyasi bo'yicha aniq o'zgarishsiz qoladimi? Vektor - tejangli makonda yashaydigan narsa, deb aytish mumkin, chunki bu degani, vektor maydonida tegib turgan maydonga izomorfik holda yashaydi va shu o'lchamdagi har qanday vektor bo'shlig'i unga izomorflidir.

[EDIT] Men chiziqli vektorning ta'rifini so'ramayman. Muayyan ob'ektni tegib turgan vektor sifatida tasvirlash mumkinligini aniqlash uchun qanday mezondan foydalanishingiz mumkinligini so'rayman. Masalan, to'rt koinotning vektor sifatida tasvirlanishi mumkin bo'lgan bu koordinatasiz kontekstda qanday qilib biz bilamiz, ammo magnit maydonni qila olmaymiz? Mening normal javobim, magnit maydon vektor kabi aylanmasligi, tsenarning bir qismi kabi aylanadigan bo'lar edi. Agar biz ushbu ta'rifga murojaat qila olmasak, magnit maydonning tegmas vektor maydonida yashamasligini qanday bilamiz?

Bertel Laurent, bo'sh vaqtga kirish: nisbiylik bo'yicha birinchi kurs

Sergei Winitzki, Topics in general relativity, https://sites.google.com/site/winitzki/index/topics-in-general-relativity

13
Sizning tushuntirishingiz: bu sizning geometrik modelingizning bir qismi - sizning jismoniy kantometrlarni geometrik jihatdan mazmunli tarzda xaritada qilishingiz kerak (va bu konvertatsiya qonunlari bundan mustasno); Masalan, momentum, eng tabiiy ravishda, bir kovector (Lagrangian formulasi, energiya olish uchun tezligi bilan qisqarishi, em vektorining potentsialiga minimal ulanish ...), em maydonlarining kuchi asosiy aloqaning egri va shunday qilib yolg'on (agar $ U (1) $ - ulanishlar uchun faqat bitta raqamga qo'shilsa orbital), 2-shaklni olish uchun algebra qiymatli 2-shakl
qo'shib qo'ydi muallif RichieACC, manba
Hozirgi uchta javobni bilib turib, men o'zimning asl savolimni aniq ko'rsatmaganimdan qo'rqaman. Kechirasiz! Men savolni yanada aniqroq qilishga urinib ko'rdim.
qo'shib qo'ydi muallif Ben Crowell, manba
@BenCrowell Mening javobimga javob beradigan bo'limni qo'shib qo'ydim.
qo'shib qo'ydi muallif Oberon, manba

6 javoblar

Tanjektor vektorlarning 4 umumiy ta'rifi mavjud bo'lib, ularning ba'zilari koordinatalarni faqat tasodifiy yoki hatto umuman ishlatmaydi.

Konvertatsiya qonunlari bo'yicha tavsif

Ba'zi fiziklar (geometrik tushuncha bo'yicha hisob-kitob qoidalarini qadrlaydiganlar - yoping va hisoblang, ehtimol sizning turini bilishingiz mumkin) ba'zi bir texnik jihatdan afzalroqdir: Vektor faqat $ \ mathbb R $ -tuple, ya'ni ba'zi bir konvertatsiya qonunlariga bo'ysunadi. koordinatalar o'zgarishi.

Bu ta'rif Erlangen dasturining kontekstida aslida mantiqan to'g'ri keladi, chunki chiziqli makon lineer ramkalarning asosiy to'plamiga taalluqli vektorli to'plamdir. Shu bilan birga, chiziqli bo'shliqlar, asosan, yolg'onchi guruhlar va asosiy to'plamlardan ancha oldin kiritilganda, ta'rif aniq emas.

Egri ekvivalentligi egri chiziqlari tavsifi

Yana bir intuitiv kishi vektorni bir-biriga tegib turgan egri chiziqlar klassi sifatida belgilaydi. Kvadratlarning birinchi darajali kontaktlarini aniqlash uchun koordinatalardan foydalanishimiz kerak, ammo ulardan foydalanish juda kam ahamiyatga ega.

Ushbu ta'rif shuni aniqlaydi, nega tejalangan vektorlarni tezlikni hisoblash kerak va yuqori jet bo'shliqlariga tabiiy umumlashma bilan birga keladi.

Derivativlar ta'rifi

Vektorlarni yo'naltiruvchi lotinlar bilan aniqlash orqali to'liq koordinatali mustaqil izlanishga kelamiz: Vektor - bu faqat bir derivatsiya, ya'ni Leibniz qoidasiga hurmat ko'rsatuvchi lineer funktsional.

Turli geometriya bo'yicha zamonaviy adabiyotlarda (60-yillardagi kabi zamonaviy ma'noda) bu erda aniqlangan ta'rif.

algebraik ta'rif

Boshqa koordinatasiz (lekin juda mavhum) algebraik geometriyadan keladi va Miffrid bu haqda kecha mening e'tiborimni jalb qiladi: bir kostangens fazasining butunlay algebraik ta'rifi , va chiziqli makon faqat uning ikkilikidir.

Men algebraik ta'rifni shubhasiz infinitesimals (analitik nuqtai nazardan) asosida aniqlashtirish mumkin (qarang Advanced Calculus by Sternberg ), lekin, albatta, standart bo'lmagan bir xil emas).

5
qo'shib qo'ydi
Afsuski, nuqsonni soqit qilyapman - sharhni kengaytirishim kerakmi, degan savolga javob beraman ...
qo'shib qo'ydi muallif RichieACC, manba

Rostini aytsam, bu koordinatasiz GR materiallari (xususan, Winitzki pdf) Matematik tomonidan o'rgatilgan GR kabi ko'rinadi - Riemann geometriyasi haqidagi Carmo matni juda o'xshash. Klassik (psevdo-) Riemann geometriyasida vektorlar afsunli parametrlangan egri derivativlari, karkaslar yoki vektorlarda skaralar yoki skalar maydonlarining gradyanlari kabi xaritalar sifatida tasvirlangan. Riemann tensori kabi bir narsa ikki vektorni/bitta vektorni/skalerni tupurgan ikki/uch/to'rt vektorda xaritadir.

Differensial geometrlar sevgi har narsani xaritalash sifatida belgilaydi; Men buni deyarli bir fetish deb hisoblayman. Lekin bu qulay: yuqori darajadagi tensorlarni belgilash vektorlar ko'rsatkichlari tensordan har bir argumentning konvertatsiya qonunlarini egallashini anglatadi va shuning uchun vektor uchun konvertatsiya qonunini o'rnatganingizdan so'ng yuqori darajadagi tensorlarni o'zgartirish qonunlari avtomatik ravishda amal qiladi.


Edit: I see the question is more how one can figure out a given physical quantity is a vector or higher-ranked tensor. I think the answer there is to look at the quantity's behavior under a change of coordinate chart.

Mufrid, biz hech qachon koordinata jadvalini birinchi marta tanlamadik; qanday ishlaydi?

Ha, lekin koordinatashtirilmagan GR nuqtasi imkon qadar uzoq vaqt davomida kechiktirish ni tanlashdir. Grafik hali ham mavjud va natijalarning ko'pi u erda mavjudligi ga bog'liq bo'ladi.

Diagrammaning o'zgarishiga qanday qaraydi (biz hech qachon birinchi o'rinda grafik tanlamaganimizda) bizga yordam beradimi?

Bir jadvaldan ikkinchisiga o'tish xaritasi diffeomorfizm bo'lib, shuning uchun uni differentsiallashtirish vektorlarni oldinga surish yoki kovtektorlarni orqaga tortish uchun ishlatilishi mumkin. Shunday qilib, vektor va kovtorslarni odatda ifodalovchi konvertatsiya qonunlari hali ham mavjud. . Ular quyidagilarga o'xshaydilar: M $ ning $ r \ $ umumiy rölativistik manifoldunda nuqta bo'lishi kerak. $ \ Phi_1: M \ dan \ mathbb R ^ 4 $ grafigiga ega bo'ling va $ \ phi_2: M \ dan \ mathbb R ^ 4 $ ga boshqa jadval bo'lsin. Keyin koordinata jadvallari orasidagi farqni o'zgartiradigan $ f = \ phi_2 \ circ \ phi_1 ^ {- 1} $ kabi $ f: \ mathbb R ^ 4 \ dan \ mathbb R ^ 4 $ o'tish xaritasi mavjud.

Agar vektor $ v \ ning T_p M $ vektori mavjud bo'lsa, $ v_1 = d \ phi_1 (v) _p \ in \ mathbb R ^ 4 $ mos keladigan vektor mavjud, ya'ni original vektorni $ \ phi_1 $ koordinata jadvali. Keyin, biz $ v_1 \ v_2 $ ( tartibga solish : farqning belgisi) o'tish xaritasini ko'chirishimiz mumkin.

Ammo, mufrid, $ v $ ning $ M $ tejangli bo'shlig'ida v vektor bilan $ p $, $ d \ phi_1 (v) $ emas, balki $ p $ da ishlaydi degani emasmi?

Siz shunday deb o'ylashingiz mumkin, lekin (turli xil geometriya kursida qayta-qayta takrorlangandek) biz aslida aslida $ \ mathbb R ^ n $ dan boshqa hech qanday hisobni qanday bajarishni bilmaymiz. Shuning uchun menimcha, albatta, har doim biz nima qilsak, $ \ mathbb R ^ 4 $ ga o'tish uchun bir jadvalni ishlatish va biz bajarishimiz kerak bo'lgan hisob-kitoblarni bajarish uchun qandaydir chiroyli qo'l bor.

Bu degani, menimcha, koordinat - bepul - bu noto'g'ri tasodifiydir. Hamma joyda koordinatali jadvallar mavjud. Biz ularni imkon qadar uzoq vaqt aniqlanmasdan qoldiramiz. Vektorlarni va kovtorslarni va boshqa tensorlar saflarini xarakterlovchi barcha konversiya qonunlari hali ham mavjud va siz hali ham ob'ektni bir-biriga o'xshash yoki yo'qligini aniqlaysiz, chunki siz har doim ba'zi chartida bo'lamiz. har doim jadvallar o'rtasida almashing.

5
qo'shib qo'ydi

Men bu erda bir nechta izohni kiritaman, agar ular tegishli bo'lmasa kechirim so'rayman.

Thomas Ivey va J.M. Landsberg tomonidan Cartan for Beginners ni o'qishni boshladim. Birinchi bobda koordinatalarsiz differensial tenglamalarni "qanday" qilish kerakligi tasvirlangan. Bu juda chiroyli. Bir paytlar tashqi differentsial tizimlarning matematikasi qarashga muhtoj, chunki ular koordinata asosidagi nazariyalarni jet-fazada geometrlangan modellarga aylantirishning tizimli usulini topishdan juda manfaatdor.

Fizika nuqtai nazaridan, narsalarning lagrangiyani shakllantirish ahamiyatini hisobga olgan holda. Savol o'zgaruvchan Lagrangianni (yoki, ehtimol chegarada yo'qoladigan bir muddatgacha deyarli o'zgarmas) qanday qilib qurish kerakligi bilan bog'liq. Xo'sh, bunday narsalarni qanday qilib quramiz?

Biz qandaydir bir skalar chiqarishimiz kerak.

Guruhga qimmatbaho ob'ektlar uchun matritsani olib tashlash va raqamni olish uchun ba'zi izlar kerak.

Har bir kontratseptiv indeks uchun shartnoma tuzish uchun kovaryant ko'rsatkichga ehtiyoj bor. Menimcha, vektorning koordinatali bepul versiyasi - bu oddiy transformatsion qonunni to'ldiruvchi matematik ob'ekt. Bu ekvivalentlik konvertatsiya qonuni tomonidan baholanadigan vektorlarning ekvivalentligi sinflari bilan ishlashga mutanosib. Matematik nuqtai nazardan qaraganda, bazalar va koordinatalar bo'yicha fikr yuritish ancha oson. Biroq, men Lagrangianni qurish haqida o'ylayotgan vaqtimda indeks uslubidagi yondashuv muayyan hisoblash go'zalligiga ega ekanligini e'tirof etishim kerak. Bundan tashqari, koordinatsiyalangan ob'ektlarning ba'zilari tashqi algebrani juda ko'p. Misol uchun, agar men to'g'ri tushunsam, Griffithlardagi Faraday tensori uchun juftlikning hosilalari uchun formulalar aslida Faradayning juftligini kodlash uchun koordinatali formulalardir.

Albatta, spinor ko'rsatkichlari ham bor. Biz har xil turlari bo'yicha shartnoma tuzishimiz va yangi usullar yaratishimiz mumkin.

O'ylaymanki, haqiqiy savol - qanday qilib invariantslarni qurishdir.

1
qo'shib qo'ydi

MTW ning "Gravitation" (Google Books orqali):

enter image description here


Tahrirlangan savolga yangilangan javob:

Masalan, ushbu koordinatasiz kontekstda qanday qilib biz bilamiz   to'rt momentum bir vektor sifatida tasvirlangan, ammo magnit maydon   mumkin emasmi?

Men Schutz tomonidan "Umumiy nisbiylikdagi birinchi kurs" ning tegishli bo'limiga eslatib o'tdim. Stress-energiya tsenarining 4.4-bo'limida:

$ \ bar O $ ramkasida yana raqamli zichlik $ \ gamma n $ bo'lsa,   lekin hozir har bir zarrachaning energiyasi $ \ gamma m dir.   Shuning uchun energiya zichligi $ \ gamma ^ 2 mn $ dir:

     

$ \ gamma ^ 2 \ rho = $ zarrachalar mavjud bo'lgan doirada energiya zichligi   tezlik v

     

Ushbu o'zgarish ikkita </​​em> omil $ \ gamma $ ni o'z ichiga oladi, chunki har ikkala   hajmi va energiyasini aylantirish. Shuning uchun ham mumkin emas   energiya zichligini vektorning ba'zi komponentlari sifatida ifodalaydi. U kiradi   [2-darajali] tensordan komponent hisoblanadi.

1
qo'shib qo'ydi
Agar kimdir ushbu sahifadagi matnning tegishli qismlarini translyatsiya qilsa va rasmni faqat rasmni o'z ichiga olishi uchun tuzatsa yaxshi bo'lar edi. (Men buni qila olardim, lekin hozir emas.)
qo'shib qo'ydi muallif Daniel Broekman, manba
@DavidZaslavskiy, men buni qilaman, lekin bugungi kunda emas, balki bugungi kunda yo'lda bo'lishim kerak.
qo'shib qo'ydi muallif Joe Bloggs, manba

Tangent vektorning ta'rifini so'ramayman. Muayyan ob'ektni tegib turgan vektor sifatida tasvirlash mumkinligini aniqlash uchun qanday mezondan foydalanishingiz mumkinligini so'rayman. Misol uchun, bu koordinatasiz kontekstda to'rt momentumni vektor deb ta'riflash mumkinligini qanday bilamiz, ammo magnit maydonni qila olmaymiz?

Agar sizning tushuntirishingizni to'g'ri tushunsangiz, sizning savolingiz aslida jismoniy tizimlarni modellashtirishga bog'liq va mening javobim umumiy:

Modelimizning bashoratini eksperiment bilan taqqoslab, boshqa har qanday fizika nazariyasi bilan bir xil.

Nima bo'lishidan qat'iy nazar koordinatalar yoki muvofiqlashtirilmagan tilni ishlatsak, geometriya geometrik ob'ektlar sifatida fizik miqdorlarni modellashtirish orqali xususiyatlarni (masalan, konvertatsiya qonunlari) va ruxsat etilgan operatsiyalarni (masalan, qisqarishni) oldindan belgilaydi.

Elektrodinamikani olib boring: Relyativistik bo'lmagan sharoitda biz 3-vektorli elektr va magnit maydonlarni o'rganamiz va Lorenz kuchini aniqlash uchun xoch mahsulotidan foydalanamiz. Biz buni shunday qilishimiz mumkin, chunki tajriba shuni ko'rsatadiki, haqiqat qanday darajada ishlaydi.

Endi, agar biz nisbatan bir nazariyani nazarda tutmoqchi bo'lsak, biz 3-vektorlardan yoki o'zaro faoliyat mahsulotlardan foydalana olmaymiz va elektromagnit maydonni to'g'ri modellash usuli 2-shakl bo'lib, Lorentz qonuni tugagan qonun tezligi 4-vektor bilan qisqarish kabi.

Raviyvistik formulaning foydasi - to'g'ri konvertatsiya qonunlarini bepul olishimizdir, ya'ni ular bizning modelimizning o'ziga xos qismidir.

Endi, 2-shakl juda oddiy ob'ekt bo'lib, biz o'zimizdan qaerdan kelganini tushunish uchun yo'l borligini yoki boshqa geometrik struktura mavjudligini bilishimiz mumkin. Bu bizni asosiy paketlar bo'yicha mumtoz o'lchash nazariyasiga olib keladi.

Raviyaviy mexanizmning umumiy ko'rinishi boshqa holatlarda ham bo'lishi mumkin: Nisbiy tizimlar reparametrizatsiya-o'zgarmas bo'lishi kerak va oddiy jetlardan "href =" http://arxiv.org/abs "ga o'tish orqali jahon miqyosidagi dinamikani shakllantirishimiz mumkin. /1005.1212 "rel =" nofollow "> submanifoldlarning samolyotlari .

Bu erda koordinatalarsiz tilni koordinatlardan foydalanishning foydasi nimada? Shaxsan men buni aqliy tekshirish shakli deb bilaman: Sizning modelingiz bo'yicha koordinatali tilda ochiladigan tenglama yozishni bilmasangiz, dizayn hidingiz va tegishli strukturaning bir qismini o'tkazib yubormang.

Klassik mexanikaning harakatlanish tenglamalaridan foydalaning:

Qushlarning ko'z qarashlaridan dinamikasi ba'zi bir manifoldda $ Z $ vektor maydoni tomonidan beriladi.

Nyuton va Hamiltonyan mexanikasida bu koordinatasiz tilda aniqlanishi mumkin $ (\ pi \ circum F) _ * Z = F. $ bu erda $ \ pi: \ mathrm {TT} ^ * M \ dan \ mathrm {T} ^ * M $ va $ Z \ rfloor \ omega = \ mathrm dH $ navbati bilan.

Euler-Lagrange tenglamalarida buni qanday amalga oshirishni bilmayman va aslida Lagrangian nazariyalarining geometrik tuzilishini o'zimga tadbiq qilmaganimni e'tirof etishim kerak (qarang: arXiv: 0908.1886 va bu PDF ).

Hozirgi vaqtda, men Nyutonning ta'rifiga borishdan mamnunman $ (\ mathbb FL) _ * Z = \ iota \ sirk \ mathrm dL $ Tabiiy izomorfizm orqali $ \ iota: \ mathrm {T} ^ * \ mathrm {T} M \ dan \ mathrm {TT} ^ * M $ yoki hatto Hamiltonian formulasiga $ Z \ float \ mathbb FL ^ * \ omega = \ mathrm dE $

0
qo'shib qo'ydi

Matematiklarning vektorning nima ekanligini aniqlash uchun aksiomalari bor, fiziklar vektor bilan kattalik va yo'nalishga ega bo'lgan jismoniy miqdor sifatida boshlanadi. Yoki hech bo'lmaganda, bu Feynmanning fizika bo'yicha ma'ruzalarining 1, 11-4-chi sonlarida aniqlangani. Bu ikki xususiyat ob'ektga tegishli bo'lib, ularni etiketlash uchun ishlatiladigan koordinatalarga bog'liq emas.

Tahrirlash:

Menning fikriga ko'ra, biz ba'zi bir o'zboshimchalik bilan vektorni standart sifatida tanlaymiz va boshqa vektorlarning kattaligi va yo'nalishini o'lchash uchun foydalanamiz. Ushbu jarayon, vektörün qismlarini etiketlemek uchun foydalanadigan koordinata tizimiga bog'liq emas.

0
qo'shib qo'ydi
@BenCrowell Siz standart sifatida har qanday vektorni olasiz va boshqa vektorlarning kattaligi va yo'nalishini aniqlash uchun foydalanasiz. Koordinatalarni o'zgartirish bu standart birlik vektorining boshqa barcha vektorlarning kattaligi va yo'nalishiga qanday ahamiyat berishini o'zgartirmaydi.
qo'shib qo'ydi muallif Mike Haboustak, manba
@BenCrowell Men siz bilan birga yashayman: standart sifatida vektori tanlab olish javobni bekor qiluvchi vektorlarning ba'zi to'plami uchun vektor asosini tanlashga tengdir. Shuni ham ta'kidlash kerakki, sizning savolingizdagi misolni ham bekor qiladi, chunki siz o'zboshimchalik bilan vaqtinchalik vektorni standart sifatida tanlayapsiz.
qo'shib qo'ydi muallif Mike Haboustak, manba
Bu vektorning birinchi sinf fizikasi ta'rifi kabi yaxshi, lekin nisbatan nisbiylikda yaxshi ishlamaydi. Nisbatan, odatdagidek, bu Lorentz konvertatsiyasiga asosan o'zgaradigan narsa. Yo'nalish tanlangan koordinatalarga bog'liq. Masalan, ikki o'lchamda yo'nalishni tanlangan koordinat tizmasiga nisbatan burchakka aylantirishingiz kerak.
qo'shib qo'ydi muallif Ben Crowell, manba
Agar o'zboshimchalik bilan vektorni standart sifatida tanlash koordinatali o'qni tanlashga tengdir.
qo'shib qo'ydi muallif Ben Crowell, manba
Matematiklar
Matematiklar
633 ishtirokchilar

Kanalga obuna buling @Matematikak Masala va misollar yechimlari uchun guruh Guruhda faqat matematikaga oid ma'lumot bo'lishi shart.

MATEMATIKA GRANT
MATEMATIKA GRANT
356 ishtirokchilar

Guruh muallifi : @Yusupov_Ahadjon Guruh rasmiy kanali @dtm_axborotnoma Kimda chiqmagan misoli bo'lsa guruhga jo'natishi mumkin! Guruh qoidalari Chat Reklama Soʻkingan Futbol Sticker Xamma bir birini xurmat qilsin