2 $ x = x ^ 2 $ uchun qancha haqiqiy ildiz bor?

U erda qancha asl ildiz bor? $ 2 ^ x = x ^ 2 $?

7
Noto'g'ri teg; bu funksional tenglama emas.
qo'shib qo'ydi muallif Lars Truijens, manba
qo'shib qo'ydi muallif Copo, manba
qo'shib qo'ydi muallif lapo, manba

7 javoblar

Aniq echim - $ x = 2 $.

$ 2 ^ x = x ^ 2 $ bo'lsa, u holda $ x \ neq 1 $ va $ x \ neq 0 $. Men ijobiy va salbiy ishlarni alohida-alohida ko'rib chiqaman.

Agar $ x \ gt $ 0 bo'lsa, $ x \ ln (2) = 2 \ ln (a) $ yoki $ \ frac {x} {\ ln x} = \ frac {2} {\ ln 2} $.

$ G (x) = \ frac {x} {\ ln x} $ turidagi lotin $ \ frac {\ ln x - 1} {(\ ln x) ^ 2} $ hisoblanadi.

$ (1, \ infty) $, lotin $ (e, \ infty) $ va ijobiy $ (1, e) $ bo'yicha ijobiy bo'ladi, shuning uchun $ x = e $ da mutlaq minimal mavjud. $ e $ hisoblanadi; $ \ lim \ limits_ {x \ dan 1 ^ +} g (x) = \ lim \ cheksiz {x \ to \ infty} g (x) = \ infty $; $ \ frac {2} {\ ln 2} \ gt $ dan boshlab, $ x $ ning ikkita qiymati mavjud, bu erda $ g (x) = \ frac {2} {\ ln 2} $; biri $ x = 2 $, biz topdik, ikkinchisi esa $ e $ dan katta qiymat (bu $ 4 $ bo'lgani kabi).

$ (0,1) $, $ g (x) $ har doim salbiy, shuning uchun $ g (x) = \ frac {2} {\ ln 2} $ qiymatlari yo'q.

Shuning uchun $ x \ gt 0 $ ikkita echim bor.

For $x\lt 0$, the equation $2^x = x^2$ is equivalent to the equation $\left(\frac{1}{2}\right)^a = a^2$, where $a=-x\gt 0$. This time, the equation is equivalent to $\frac{a}{\ln a} = -\frac{2}{\ln 2}$. There are no solutions for $a\gt 1$, since $g(x)$ is positive there. On $(0,1)$, $g'(x)\lt 0$, so the function is strictly decreasing; we have $\lim\limits_{a\to 0^+}\frac{a}{\ln a} = 0$ and $\lim\limits_{a\to 1^-}\frac{a}{\ln a} = -\infty$, so there is one and only one value of $a$ for which $\frac{a}{\ln a} = -\frac{2}{\ln 2}$. Thus, there is one value of $x\lt 0$ which solves the equation.

Xulosa qilib, uchta haqiqiy echim bor: birinchisi $ (- 1,0) $, ikkinchisi $ 2, uchinchisi esa $ 4.

11
qo'shib qo'ydi

To'g'ri, uchinchi haqiqiy yechim (2 va 4 tashqari) $ - \ frac {2 W (\ ln (2)/2)} {\ ln (2)} $ hisoblanadi, bu erda $ W $ Lambert V funktsiyasi .

9
qo'shib qo'ydi

Assuming that $x>0$, by taking logs of both sides and rearranging, we get that $$ \frac{\log(x)}{x}=\frac{\log(2)}{2} $$ Since $\frac{d}{dx}\frac{\log(x)}{x}=\frac{1-\log(x)}{x^2}$ vanishes only when $x=e$, and $\frac{\log(x)}{x}=\frac{\log(2)}{2}$ when $x=2$ and $x=4$, those are the only two positive solutions (i.e. the Mean Value Theorem says that $\frac{d}{dx}\frac{\log(x)}{x}$ vanishes between any two solutions).

For $x<0$, noting that $x^2=(-x)^2$, we have $$ \frac{\log(-x)}{x} = \frac{\log(2)}{2} $$ Since $\frac{d}{dx}\frac{\log(-x)}{x}=\frac{1-\log(-x)}{x^2}$ only vanishes at $x=-e$, there can be at most one solution in $(-e,0)$ and one in $(-\infty,-e)$.

For $x$ in $(-\infty,-e)$, $\frac{\log(-x)}{x}<0$ so there are no solutions in this range.

Since $\frac{\log(-(-1))}{-1}=0$ and $\frac{\log(-(-1/2))}{-1/2}=2\log(2)>\frac{\log(2)}{2}$, there must be a solution in $(-1,-\frac{1}{2})$, which is $x=-.766664695962123093111204422510$.

Demak, so'ralgan savolga javob berish uchun uchta echim bor.

5
qo'shib qo'ydi
@FUZxxl: Demak, "Nima uchun emas, balki [...] echimi?"
qo'shib qo'ydi muallif Lorin Hochstein, manba
@FUZxxl: Ikki tomonning har biriga ulashda siz bir xil qiymatni olasizmi?
qo'shib qo'ydi muallif Lorin Hochstein, manba
Har ikki tomonning jurnallarini olish $ x> 0 $ ni oladi, lekin $ x = -1 $ atrofida salbiy yechim mavjud.
qo'shib qo'ydi muallif Sound1844, manba
Nima uchun $ x \ approx-0.76666469596212309311 $ echimini topasiz?
qo'shib qo'ydi muallif klanomath, manba
@Arturo Buni anglatuvchi javob beruvchi, chunki $ x = 2, x = 4 $ yagona yechimlarni bildiradi.
qo'shib qo'ydi muallif klanomath, manba
@ Arturo Err, bu aniqroq bo'ladi, lekin tahrirlash vaqti keldi.
qo'shib qo'ydi muallif klanomath, manba
@ lhf: yaxshi nuqta. Men javobimda $ x <0 $ ni ko'rib chiqdim.
qo'shib qo'ydi muallif ox black, manba

Robertning echimini rad qilish uchun:

$ x ^ 2 = \ exp (x \ ln 2) $$

quyidagi kabi qayta sozlanishi mumkin:

$ x ^ 2 \ exp (-x \ ln 2) = 1 $ ga teng

Har ikki tomonning tegishli kvadrat ildizini oling:

$ x \ exp \ chap (-x \ frac {\ ln 2} {2} \ o'ng) = - $ 1

har ikki tomonni ham tegishli omil bilan ko'paytiring:

$ - x \ frac {\ ln 2} {2} \ exp \ chap (-x \ frac {\ ln 2} {2} \ o'ng) = \ frac {\ ln 2} {2} $$

Lambert funktsiyasini kiriting:

$ - x \ frac {\ ln 2} {2} = W \ chap (\ frac {\ ln 2} {2} \ o'ng) $$

Bobning amakisi:

$ x = - \ frac {2} {\ ln 2} W \ chap (\ frac {\ ln 2} {2} \ o'ng) $$

Shuningdek,

$ - \ frac {2} {\ ln 2} W \ chap (- \ frac {\ ln 2} {2} \ o'ng) = 2 $

va

$ - \ frac {2} {\ ln 2} W_ {- 1} \ chap (- \ frac {\ ln 2} {2} \ o'ng) = 4 $

$ W_ {- 1} (x) $ - $ [- 1/e, 0] oralig'idagi haqiqiy Lambert funktsiyasining boshqa qismi

4
qo'shib qo'ydi
shuning uchun men uni birinchi marta izlashim kerakligini eslatib, yomonlashtirmasligim yaxshiroq ... lekin keyin yana men bu erda savollarni tasodifiy ko'rib chiqish orqali yangi narsalarni o'rganishni xohlayman :)
qo'shib qo'ydi muallif thelsdj, manba
uzr so'raymiz ... chunki wolfram o'rniga yoki hech qanday bog'lanish o'rniga wiki o'rniga?
qo'shib qo'ydi muallif thelsdj, manba
kvadrat ildiz uchun boshqa belgini olsangiz, $ V (- \ frac {\ ln 2} {2}) $ 2 va 4 qiymatini beradi.
qo'shib qo'ydi muallif thelsdj, manba
@Tobias: Men javobimni yangiladim.
qo'shib qo'ydi muallif Fanjita, manba
Lambert funktsiyasi uchun vikidagi maqola bilan bog'lanish istagini/ehtiyojini sezmagan kunni kutaman ...
qo'shib qo'ydi muallif Fanjita, manba
@Tobias: Yo'q, yo'q; Men juda foydali va shunga o'xshash, shunga qaramay, odamlar hali ham qurilishni tushuntirish zarurligini his qilmoqdalar ...
qo'shib qo'ydi muallif Fanjita, manba

Wolfram | Alpha ga kiring va $ 2 ni kiriting ^ x = x ^ 2 $ ( link )

enter image description here

4
qo'shib qo'ydi
Buni mening javobim uchun qilmoqchi edim. = P +1
qo'shib qo'ydi muallif Caspar, manba

Sizda 3ta ildiz bor:

Tenglamaingizni bir funktsiyaga qo'yishingiz mumkin:

$ f (x) = 2 ^ x-x ^ 2 $$

Endi savol shuki, x = f (x) = 0 $; yoki, ildizlari nima f (x) Newton-Raphson usuli bir necha taxminlar bilan boshlanadi: $ x_0 $, va quyidagi taxminlarni topadi: $ x_1 $, formula bo'yicha. Keyinchalik, bu tahmin yordamida, yangi xulosani topish uchun bir xil formulani qo'llaymiz, $ x_2 $. Biz shuncha davom etamiz biz xohlaganimizga yaqinmiz. Formul - bu

$$x_{i+1} = x_{i} - \frac{f(x_{i})}{f'(x_{i})}$$

We need $f'(x)$, the derivative of $f(x)$. It is

$$f'(x) = 2^x * ln(2) - 2x$$

Shunday qilib, bizning muammomiz uchun formula mavjud

$ x_ {i + 1} = x_ {i} - \ frac {(2 ^ {x_i} -x ^ 2)} {(2 ^ {x_ {i}} * ln (2) -2x)} $$

Buni elektron jadvalda sozlashingiz mumkin. Keyin turli xil birinchi taxminlarni sinab ko'ring $ x_0 $. Siz algoritmni uchtadan bittasida nolga teng deb topasiz boshlang'ich qiymatiga qarab, ildizlar. Agar men $ x_0 = 0 dan boshlasam, ildizni olish:

$ x = -0.766664696 $$

5 ta takrorlashdan keyin. Siz quyidagilarni tekshirishingiz mumkin:

$ 2 ^ {- 0.766664696} = 0.587774756 $   $ (- 0.766664696) ^ 2 = 0.587774756 $

$ X_0 = 1 $ bilan boshlasam, $ x = 2 $ ildizini olaman. Agar men boshlasam $ X_0 = 3 $, ildiz $ x = 4 $ ni olaman. Uch kishi borligini ko'rgansiz ildizlari.

Umid qilamanki bu yordam beradi

3
qo'shib qo'ydi

Har ikkala funksiyaning grafikalarini chizish orqali biz uchta fikrni osongina topishimiz mumkin. Qanday ildizlar aslida, men bilmayman, lekin hech bo'lmaganda sizning savolingizga javob bera olaman.

To prove this, one might want to use Rolle's Theorem on the function $f(x) = 2^x - x^2$ to show the existence of the third $0$, which is the non-trivial one (the first two are $x=2$ and $x=4$). Just notice that $f(0) = 1$ and say $f(-100) < 0$, hence there exists a zero between those points. Since the derivative of $f$ is strictly positive in the interval $(-\infty, 0)$, this is the only one in this interval.

0
qo'shib qo'ydi
$ X = 4 $ "trivial" deb atashga ishonchim komil emas - bu oson , lekin bu $ x = 2 $ tenglikdagi simvolik o'zgarish emas. Biroq, bu gap. :-)
qo'shib qo'ydi muallif Mike, manba
Hardy-ning sof matematikasi grafikani chizish bo'yicha bo'limga ega. Men bir vaqtlar kimdir Bela Bollobasning ikkilamchi savollaridan birini (1980-yillarning boshlarida) kompyuterni grafik chizish yo'li bilan hal qilib qo'yganini eslayman. Keyinchalik aniq dalilni yaratish uchun nima qilish kerakligini aniq ko'rsatib berdi. BIR GRAPHni chetga surib qo'ying.
qo'shib qo'ydi muallif runeh, manba
Menga "bu odam - ildiz" deb aytadigan bo'lsam, menga qarashga va "ha" deb ayta olaman degan ma'noni anglatmaydi. Uchinchi ildiz ma'nosiz emas, chunki buni qila olmayman. = P Bu odatda umumiy nuqtai nazardan ahamiyatsiz so'z ma'nosini anglatadi. Agar biror narsa ishlaydigan biror dalil talab qilmasa, umuman ahamiyatsiz deb aytiladi. Ajablanarlisi "topishga oson" degani emas, demak "kontekstda dalil talab qilmaydi" degan ma'noni anglatadi ... baribir, bular mening so'zlarimdir. Dunyodagi har bir matematika forumida "jiddiy" so'z haqida $ \ infty $ xabarlari borligiga ishonaman. = R
qo'shib qo'ydi muallif Caspar, manba