Nima uchun Juliya shu qadar sodda? (kvadratik oila)

Men nima uchun Julianning kvadratik oila guruhlariga qarashim kerakligini bilmoqchi edim, men ularni hisoblashning cheksizligi emas, faqat takroriy naqshlarning sonli sonini ko'raman.

Mening savolim bu uchta teoremaning o'zaro ta'siri xususida:

Theorem 1: Let $z_0\in\mathbb{C}$ be an repelling periodic point of the function $f_c:z\mapsto z^2+c$. Tan Lei proved in the 90s that the filled in Julia set $K_c$ is asymptotically $\lambda$-self-similar about $z_0$, where $\lambda$ denotes the multiplier of the orbit.

Theorem 2: (Iterated preimages are dense) Let $z\in J_c$, then the preimages of $z$ under the set $\cup_{n\in\mathbb{N}} ~ f^{-n}(z)$ is dense in $J_c$

Theorem 3: $J_c$ is the closure of repelling periodic points.

Keling, 1-teoremada kengaytiramiz Texnik jihatdan $ (\ lambda ^ n \ tau _ {z_0} K_c) \ cap \ mathbb {D} _r $ yondashuvi ($ \ mathbb (C} $ kompozitsiyalarining Hausdorff metrikasi) $ X \ subset \ mathbb {C} $ chegara modeli shunday $ \ lambda $-o'z-o'ziga o'xshaydi: $ X = \ lambda X $. \ \ Cap \ mathbb {D_r} $. Haqiqatdan ham bu kompyuterga $ z_0 $ dan $ K_c $ hosil qilganda, tasvir barcha amaliy maqsadlar uchun o'ziga o'xshash bo'ladi. Yana $ z_0 $ ga yaqinlashtirilganda yangi ma'lumotlar olinmaydi.

Lei shuningdek $ K_c $ $ z_0 $ preimages, $ X $ bilan bir xil cheklovli modelga aylantirilib, qayta ishlashga qadar asimptotik ravishda $ \ lambda $-o'zini o'xshash ekanligini isbotladi. Bu $ z_0 $ repelling tsiklidagi har bir nuqtada yaqinlashishni anglatadi, asosan, xuddi shu tomoshani ta'minlaydi, ehtimol aylanadiki, $ z_0 $ ga yaqinlashadi. Faqat $ z_0 $ ning preimages $ J_ {c} $ (Teorem 2) da zichroq, ya'ni bu $ X $ naqshni Julia setida ko'rish mumkin.

Keling, $ z_1 $ boshqa davriy nuqta nuqtasini ko'rib chiqaylik. Lei biz $ em $ a $ $ z_1 $ va barcha uni oldingi tasvirlarni asimptotik ravishda o'zimizga o'xshashligini bildiradi. $ Z_1 $ oldingi tasvirlari ham $ J_c $ da zichroq bo'lgani uchun $ J_c $ chegara modelini $ Y $ ga kuzatish mumkin.

Shunday qilib, har bir qaytaruvchi periyodik orbita uchun a priori bilan bog'liq chegara modeli bo'lishi kerak va ushbu cheklov modellarining har biri aniq bo'lishi mumkin. Biroq, , kompyuterda yaratilgan Julia to'sig'iga qaraganda, uning asimptotik jihatdan o'xshash bo'lgan qismlari finite Limit modellari to'plami (aylanishgacha).

Nima uchun shunday? Ehtimol mening ko'zim farqni ko'ra olmaydi? Yoki kompyuter barcha detallarni yaratolmaydimi?

Yoki chegara modellari cheklangan holatda bo'ladimi?

Simple Julia zoom In this image (read like a comic strip), I zoom into the neighbourhood of a point, four times, then purposely "miss the center", and zoom onto a detail for four more times. The patterns that emerge are very similar. Are they the same?
This is perhaps one of the simplest Julia set, but the experience is

24
@AndreaDiBiagio Sizning postingizdan kelgan barcha savollar hali ham ochiq-oydinmi? Agar bo'lmasa, ehtimol javobni qabul qila olasizmi?
qo'shib qo'ydi muallif isomorphismes, manba
@AndreaDiBiagio Aytish kerakki, retseptiv davriy nuqtalarda asimptotik o'z-o'ziga o'xshashlik natijasi Tan Leining asaridan 100 yil oldin klassik Koenigs teoremasidan kelib chiqadi, bu esa parametr tekisligida asimptotik o'z-o'ziga o'xshashligini ko'rsatadi. va rasm dinamik va parametr tekisligida bir xil).
qo'shib qo'ydi muallif isomorphismes, manba
@ LasseRempe-Gillen juda uzr so'radi. Men chalg'itib qo'ydim. Sizning javobingiz men uchun.
qo'shib qo'ydi muallif Remco Ros, manba
@Top fraktal deb nomlangan kichik iOS ilovasi bo'lib qolsa ham, MacOSda JuliaTreck bilan o'xshash narsalarni ko'rganman
qo'shib qo'ydi muallif Remco Ros, manba
Ikki "lob" uchrashadigan "o'murtqa" ustidagi nuqtalar bir xil> repellent davriy nuqta preymages. (Ularning mazmuni xuddi 2-qudratga ega bo'lgan aql-idrok raqamlarining o'xshashligi haqida o'ylang). Boshqa barcha repellent davriy nuqtalarining preimalari ular orasidagi ...
qo'shib qo'ydi muallif Eric Boberg, manba
Ushbu fraktallarni yaratish uchun qanday dasturiy ta'minotni ishlatdingiz?
qo'shib qo'ydi muallif Flimm, manba

5 javoblar

Yuliya to'plamlari o'z-o'ziga o'xshash silsilalar bilan juda yaqin aloqada - ularning har biri uni takrorlanadigan funksiya tizimi kabi bir narsaning o'zgarmas to'plami deb hisoblanishi mumkin. Xususan, $ f (z) = z ^ 2 + c $ ning Julia to'plami $ f $ davriy nuqta nuqtalarining yopilishi hisoblanadi. Shunday qilib, Julianning o'zi $ f $ ning teskarisi ostida jozibador bo'lishi kerak va shunga o'xshash ikkita invers mavjud: $ f _ {\ pm} ^ {- 1} (z) = \ pm \ sqrt {z-c}

Aslini olib qaraganda, $ J = f _ {+} ^ {- 1} (J) \ stakan f _ {- 1} ^ {- 1} (J) $$ shuning uchun u o'z-o'ziga o'xshash ko'rinadi. $ C = -1 $ uchun idlarni tasvirlaydigan bepul grafik:

enter image description here

23
qo'shib qo'ydi
Bu yaxshi bir nuqta - bu Ayrim ma'noda Dragon egriga o'xshaydi, en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve , ammo chiziqli emas. en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve bilan o'xshashliklar juda aniq ... agar bu ikki fraktalani interpolyatsiya qiladigan tabiiy deformatsiya mavjud bo'lsa ...
qo'shib qo'ydi muallif RQDQ, manba
Qayta ishlangan funktsiyalar tizimi kvadratik Yuliya to'plamlarining ushbu xususiyatini umumlashtirmoqchi edi. MR0799111-dagi Barnley, M. F., 14-misolga qarang; Demko, S. Funktsional tizimlar va global fraktal qurilishi. Proc. Roy. Soc. London Sir. A 399 (1985), no. 1817, 243-275.
qo'shib qo'ydi muallif Margaret Friedland, manba
@MarkMcClure Siz bir xil Julia to'plamida cheksiz ko'p miqdordagi chegara cheklovlarini qabul qilasiz. Andrea buni kutish huquqiga ega, u faqat yaqinlashtirish uchun kerakli joylarni tanlamagan (va shu bilan birga, agar multiplikator moduli 1 ga yaqin bo'lsa, siz ko'zning turli spiralizatsiyasini aniqlay olmaysiz).
qo'shib qo'ydi muallif isomorphismes, manba
@MarkMcClure, siz mening savolimga noto'g'ri tushgandek tuyuladi. Shunga o'xshash modellarni qayta-qayta takrorlayotganimdan hayron bo'lmayman, bu T1 va T2 natijalaridir va sizning javobingiz tufayli ham tushunish mumkin. T1, T2, T3 menga ishonchi komil bo'lsin, chunki abadiy ko'p sonli replikatsiya punktlari bor, ularning har biri o'z- $ J $ o'xshashligi, men o'zboshimchalik bilan juda ko'p turli xil shakllarda yaqinlashtirish imkoniyatiga ega bo'lishim kerak!
qo'shib qo'ydi muallif Remco Ros, manba
Bu juda aniq, lekin mening savolimga javob bermaydi, bu kichik va kichikroq mahallalarda geometriyani aniq nuqtalar bilan bog'liq. Sizning javobingiz global quasi-o'z-o'zini taqlid qilishga juda aniq murojaat qiladi.
qo'shib qo'ydi muallif Remco Ros, manba
yagona Julia to'sig'ida ushbu naqshlarni ko'rmaysiz, deb hayron qolasizmi? Menga o'xshab, to'siqning o'ziga xosligi tabiatning bunday bo'lishi mumkin emasligini anglatadi. Albatta, har xil spiral naqshlarni siz $ c $ o'zgarib turgandek topishingiz mumkin. Shuni ham tushunish kerakki, bu ikki o'lchovli Julia to'plami hisoblanmaydi - hech kim ularning qanday ko'rinishini bilmaydi! Shunday qilib, har qanday javob biroz to'liq emas
qo'shib qo'ydi muallif Frank Groot, manba
@AndreaDiBiagio O'z-o'ziga o'xshash silsilalar siz so'ragan narsaga egadir - ya'ni, sizga o'xshash naqshlar kattalashib boraveradi, shuning uchun javobingiz to'g'ridan-to'g'ri savolingizga to'g'ridan-to'g'ri javob beradi. Men shuni tan olaman-ki, men kitobxonga o'z-o'ziga o'xshash guruhlardagi bu xususiyatni bilgan deb o'ylayman va men uni bu lavozimda yanada aniqroq qilib qo'ygan bo'lardim.
qo'shib qo'ydi muallif Frank Groot, manba

Fikrimni kengaytirish va Julian to'dalari va Ajdajon egri chizig'ining o'ziga o'xshashligini ta'kidlash uchun, bu erda ikkalasi orasidagi interpolatsiya.

enter image description here

Har bir ramka ikki murakkab funksiya tomonidan ishlab chiqariladi,

f1[z_, t_] := ((1.0 + I) z/2) t + (1 - t) (Sqrt[z + 0.9 I]);
f2[z_, t_] := (1 - (1.0 - I) z/2) t + (1 - t) (-Sqrt[ z + 0.9 I]);

bu erda $ t $ animatsiya ramkalarida $ 0 dan $ 1 $ gacha boradi. $ T = 0 $ uchun $ c = -0.9i $ uchun klassik Julia fraktali bor, va $ t = 1 $ da Dragon egri uchun ikkita generatorlar mavjud.

Xo'sh, ranglar haqida nima deyish mumkin? $ J $ to'siqni jalb qilsin. Keyin $ f_1 (C) $ qora tanli va $ f_2 (C) $ ko'k seti va $ C = f_1 (C) \ cup f_2 (C) $ hisoblanadi. Bu o'z-o'ziga o'xshash tabiatni ta'kidlaydi.

E'tiborsizki, Dragon egri ishida $ f_1 $ va $ f_2 $ dan analitik va affine bo'lgani uchun ular rasmni butunlay buzishmaydi, shuning uchun siz yana aniq nusxalarini kichikroq darajalarda ko'rasiz. Yuliya ishida bizda faqat analitik xaritalar mavjud, shuning uchun kvadrat ildizdan kelib chiqqan ba'zi bir buzilishlar mavjud, lekin rasm juda ko'p yoki kamroq saqlanib qolgan (bu analitik xaritalarning tabiati).

13
qo'shib qo'ydi
@MarkMcClure: Ha, ehtimol bu eng yaxshi misol emas edi, lekin o'z-o'ziga o'xshashlik jihatlari aniq deb o'ylayman ... Ehtimol, yaxshiroq Juliada to'siq qo'yadigan kishi bor. Turli parametrlar bilan ko'p narsani sinab ko'rmadim.
qo'shib qo'ydi muallif RQDQ, manba
Ejder egri va Julia to'dalari o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri bog'liqlik uchun, Milnorning "Yonning joylashtirilishi: Julianning birlashtiruvchi misoli" nomli maqolasiga qarang. emis.de/journals/EM/expmath/volumes/13/13.1/Milnor.pdf
qo'shib qo'ydi muallif isomorphismes, manba
Bu qiziq, lekin mening savolimga javob bermaydi.
qo'shib qo'ydi muallif Remco Ros, manba
Bu javobni yoqtirdim, uni yangiladi va animatsiyani yaxshilash uchun biroz tahrir qildim. Mening obro'yimga ko'ra, ko'rib chiqish navbatini tasdiqlash orqali tuzatishlar ko'rinmaydi. animatsiyasi mening versiyasini ko'rishingiz mumkin. Men umuman ajralib turadigan Julian to'siqni va ikki o'lchamli o'z-o'ziga o'xshash g'ilofni tanlaganingizni tanqid qilmoqchiman. Bu homomorfik bo'la olmaydi.
qo'shib qo'ydi muallif Frank Groot, manba

@GNiklasch ta'kidlaganidek, siz ikkita joyga yaqinlashmoqdasiz, ular bir xil repellatsiya davriy nuqtalarining ikkalasi ham ustundir. Shunday qilib, Yuliya to'plamining tasvirlari mahalliy ravishda konformal xaritalar bilan bog'liq bo'lib, shuning uchun ham asymptotik jihatdan bir xildir.

Turli xil replikatsiya davriy nuqtalarda zoomirovka qilsangiz, odatda ular turli xil ko'paytirgichlarga ega bo'ladi. Misol uchun, siz misolingizda haqiqiy o'qdan uzoq muddatli nuqtalarga nazar tashlasangiz, siz murakkab multiplekslar, va shuning uchun kichik o'lchamdagi spiraling xatti-harakatlarini kutmoqdasiz.

Look at this picture:quadratic Julia set

"Spirtli ichimliklar" ning ko'p qismlari mavjud bo'lgan davriy nuqta mavjud. Katta quyonni chap orasiga birlashtiradigan sobit nuqtalar ham mavjud. (Bu nimani anglatishini biladiganlar uchun ikkinchisi - polinomning $ \ alpha $ sobit nuqtasi, ikkinchisi esa renamerlashtirishning $ \ alpha $ sobit nuqtasidir). Nihoyat, boshqa o'ta muhim nuqta bor tasvirning

Julia to'plami ularning har biriga yaqin ko'rinadi.

EDIT. You can get an even clearer example by considering infinitely renormalisable quadratic polynomials. Consider the following procedure to select a parameter. Start at c=0, the centre of the main cardioid. Then move to the centre of the period 2 bulb at the left of the cardioid (c=-1, the "basilica"). This creates a periodic point at which two dynamic rays land, and which hence separates the Julia set into (exactly) two components.

Endi ushbu komponentdan 3 marta aylanadigan davrni o'tqazib, unga uchta nur tushib turadigan 6 davriy davriy nuqtani yarating. (Bu yuqorida ko'rsatilgan "raqs quyonlarini" o'z ichiga olgan komponent). 4 bifurkatsiya, 5-davr va boshqalar.

Chegara chizig'ida juda ko'p davriy nuqtalarga ega bo'lgan kvadratik polinomga ega bo'lasiz, unda Juliya to'siqlari hatto topologik jihatdan juda ko'p har xil, chunki ular Julianni turli qismlarga ajratadilar.

(Batafsil ma'lumot uchun, ushbu turdagi qurilish uchun, Milnorning Julianlarning mahalliy aloqalari: tushuntirish ma'ruzalari a>, 3-qism).

Shuni ta'kidlashni istardimki, kvadratik polinom uchun, ikkita nurdan ko'proq tushishi mumkin bo'lgan yagona nuqtalar va shuning uchun Julianni ikki qismdan ko'proq ajratib qo'yish - davriy nuqtalarni qaytarishning premeralari. Ulardan har biri Mandelbrot to'plamining bir nusxasiga bog'liq. Shunday qilib, yuqorida ko'rsatilgan namunani faqat cheksiz sonli renormalisatsiyaga ega qilib olasiz.

EDIT 2. As my original point does not seem to have come across to some, here are some pictures. For $$ c = 0.340095913765605+0.076587412582221i,$$ in the main cardioid, we obtain the following Julia set. Julia set of $z^2+c$ in the main cardioid

Here is the scaling limit near the $\beta$-fixedpoint, $$ z_0 = 0.618645316268697-0.322757842411465i:$$ Scaling limit near beta fixed point

Here is the scaling limit near a period 9 periodic point, $$ z_1 = 0.177144137748545 + 0.032520156063447i.$$ Scaling limit near period 9 point

Ko'rib chiqish cheklovlari juda boshqacha ekanligini ko'rishingiz mumkin. (Richard Parris tomonidan tayyorlangan "Winfeed" fraktal dasturidan olingan suratlar, 2012 yil versiyasi).

9
qo'shib qo'ydi
Men O'Xdan nima talab qilayotgani haqida gapiryapman - vaqti-vaqti bilan fikrlarni o'zgartirishga cheklov cheklovi. Kesilgan fikrlar haqida nima deb javob berganimni tahririmda va oldingi sharhga qaytadan aytaman. Kesish nuqtalari va spiralizatsiya ikki xil narsadir, ikkinchisiz ham bo'lishi mumkin.
qo'shib qo'ydi muallif isomorphismes, manba
@AndreaDiBiagio Men sizning savolingizni tushunganingizdek, bu davriy nuqtalarni repellemede kichrayish chegarasi haqida. Shunday qilib, siz bu o'lchov chegarasini ko'rish uchun davriy nuqta tuzishingiz va uning yaqinidagi kattalashtirishingiz kerak. Siz "Julian" to'plamini ajratib turuvchi "qiziq" nuqtaga yaqinlashganingizdek tuyuladi - lekin sizning holatlaringizga ko'ra, Julia to'sig'ini ajratib turuvchi ikkita davriy nuqta bor va boshqa har qanday nuqta, va shuning uchun tushuntiraman, shuning uchun konformality bilan bir xil o'lchov chegarasiga ega.
qo'shib qo'ydi muallif isomorphismes, manba
@MarkMcClure Yo'q, sizlar Julia to'sig'ida turli xil ko'paytma va shuning uchun har xil miqdordagi cheklovlarga ega bo'lishingiz mumkin bo'lgan turli xil davriy fikrlar mavjud.
qo'shib qo'ydi muallif isomorphismes, manba
@MarkMcClure Kechirasiz, lekin siz noto'g'ri ekansiz. Kardioiddagi har qanday xarita, z2 dan tashqari, haqiqiy emas, ko'paytiruvchi va shuning uchun "spiraling" harakati bilan davriy nuqta bor. Qarang: Eremenko & van Strien, "Raqamli xaritalar haqiqiy multipliers". Agar kardioide yaqinlashib qolsangiz, lekin kardioid chegarasiga teginsangiz, siz spiralingni ko'rishingiz mumkin.
qo'shib qo'ydi muallif isomorphismes, manba
Multiplikator moduli $ 1 $ dan juda uzoq bo'lsa, siz bir rasmda spiralingni ko'rolmaysiz, lekin siz kattalashtirishda buni kuzatishingiz mumkin. Agar siz matematikadan shubha qilsangiz, o'zingiz ishonch hosil qilishingiz mumkin.
qo'shib qo'ydi muallif isomorphismes, manba
PS. Barcha davrlarning orbitalari haqida gapirmadim. Orbita davri bu erda ahamiyatga ega emas, ya'ni ko'paytiruvchi (o'lchov chegarasi tuzilishi uchun) va orbitaga tushadigan nurlarning soni (boshqa dalillar uchun) . Asosiy kardioide xaritalar uchun har bir nuqtada, vaqtdan qat'i nazar, faqat bitta nur tushishi mavjud.
qo'shib qo'ydi muallif isomorphismes, manba
"@GNiklasch ta'kidlaganidek, siz ikkita joyga yaqinlashmoqdasiz, ular bir xil repelling periodic nuqtasining ikkalasi ham". Haqiqatdan ham, bu juda katta ehtimollikdir, chunki T2 muayyan nuqtaning oldingi qiymati $ J $ ga zich bo'lganligini aytadi. Ammo T3, davriy ballaringizni $ J $ da zichroq deb hisoblaydi va ularning har birida apriori, boshqa multiplikator bo'lishi kerak, shuning uchun turli xil mahalliy harakatlarga olib keladi.
qo'shib qo'ydi muallif Remco Ros, manba
Men bu erda ikki xil narsadan bahs etayotganimizdan shubhalanaman. Ichki juliya to'plamining bir nechta tarkibiy qismlari uchraydigan nuqtalar haqida spiralni ko'rgan spiraller, bu aytilganimdek, ikkala bifurqatsizlikdan kelib chiqadi va mening ko'zimga qaraganda, biz ko'rib turgan hukmron geometrik shakldadir. Bunday yurish-turish asosiy kardioidda paydo bo'lmaydi. Sizning boshqa fikrlaringiz ham qiziqarli; Men ko'zimga qara.
qo'shib qo'ydi muallif Frank Groot, manba
To'g'ri, barcha davrlarning orbitalari bor, lekin Julianning to'plamini aylanadigan z ^ 2 uchun aynan shunday gapni ayta olasiz. Oddiy kardioiddagi har qanday j uchun Julianning z ^ 2 + c to'plamida aniq spiral naqshlar mavjud deb o'ylamayman. Spiral naqshlar faqatgina ikkala bifurkatsiya orqali o'tgandan keyin aniqlanadi. Sizning misolingiz uchun, asosiy kardioiddan 2 lampa davriga, keyinchalik 3 lampochkaning uchigacha o'tishi bilan ikkita bifurqatsiya mavjud. Shuning uchun biz Julia uchun maxsus spiral turlarini ko'rib turibmiz.
qo'shib qo'ydi muallif Frank Groot, manba
Bu juda chiroyli va bir xil Julia to'sig'ida bir nechta spiral naqshlarga ega bo'lishi mumkinligini ko'rsatadi, biroq bu belgini bir oz sog'inarmikin deb o'ylayman. Siz ko'rgan o'ziga xos spiral naqsh Juliya to'siqidagi butasida ni kengaytirish qaerga qarab bog'liq bo'lsa, u Julia majmui ichidagi barcha mumkin bo'lgan spiral naqshlar majmui sizning parametringiz $ c Mandelbrot to'plamidagi $. Buni tushunganimdek, yana bitta Julia to'plami ichida juda ko'p spiral naqshlar bor.
qo'shib qo'ydi muallif Frank Groot, manba

Men suratga tushirishni boshlaganim uchun, men sizning savollaringizga to'g'ridan-to'g'ri, yana qisqa, to'g'ridan-to'g'ri javob berishni qo'shimcha qiymatga qo'shimcha sifatida qo'shishim mumkin deb o'yladim.

Question 1. Are the limits in your pictures the same (up to a linear map)?

Answer. Yes. The only points in your "double basilica" picture at which two bounded Fatou components (interior regions of the filled Julia set) meet are preimages of the same periodic point. (This is the $\alpha$-fixed point of the first renormalisation.) Hence the Julia set near the two points is related by a conformal map, and the two scaling limits are the same, up to a linear transformation.

Question 2. Are there only finitely many scaling limits? Answer. No. But you must focus in on different periodic points to observe them. In other words, first fix your periodic point, then zoom in.

Siz namunangiz uchun aniq parametrni bermadingiz, lekin bu erda $ c = -1,3 $ parametrining miqdoriy chegaralari mavjud. To'liq Julia to'plami:

Double basilica Julia set

Uchta haqiqiy davriy punktlarda o'lchash cheklovlari $ x_1 = -0.744989959798873 $, $ x_2 = 0.241619848709566 $ va $ x_3 = 1.131900530695346 $ ($ \ alfa $ sobit nuqtasi, $ \ alpha $ birinchi renormalisation sobit nuqtasi va $ \ beta $ sobit nuqtasi):

Va nihoyat, 3 punktga yaqin bo'lgan o'lchov chegarasi $ 1.131900530695346 + 0.227896812185643i $. Men uchta ketma-ketlikdagi zoomlarni (har birining 10 foizli faktor bilan), haqiqiy bo'lmagan ko'payish tufayli spiral tuzilishini ta'kidlash uchun. Davriy nuqta har bir rasmning markazida joylashgan.

O'lchash chegaralari boshqacha ekanini aniq bilib olishingiz mumkin. Siz ko'proq davriy fikrlarni tanlashingiz va ko'proq miqdoriy chegaralarni olishingiz mumkin.

5
qo'shib qo'ydi

Cheksiz ravishda renormalizable polinomani ko'rib chiqayotganda, cheksiz ko'p sonli rasmni ko'rishingiz mumkin. Misol uchun, $ c $ $ x_n $ davriy ballarni topishingiz mumkin, shunday qilib $ K_c \ setminus \ {x_n \} $ aniq $ n $ qismlariga ega.

Bunday cheksiz renormalizable $ c $ chaqaloq Mandelbrot silsilasini cheksiz uyasida. Mandelbrot chaqaloq Mandelbrot chuqurlik to'plamini $ n + 1 $ $ Mandelbrotning chuqurlik $ n $ $ 1/n $ -limb qismida tanlaganingizda $ \ alpha $ - belgilangan nuqta $ x_n $ deb nomlanadi. $ n $ - bu renormalizatsiya $ 1/n $ aylanish raqamiga ega, shuning uchun $ K_c \ setminus \ {x_n \} $ $ n $ qismlariga ega.

0
qo'shib qo'ydi